Mathematische Logik (Vorlesung)

Grob vereinfacht, kann man die grundlegende Fragestellung der Vorlesung so formulieren: Ist es möglich, alle korrekten Sätze einer Theorie maschinell, durch einen Algorithmus, beweisen zu lassen? In dieser einfachen Fragestellung tauchen Begriffe auf, die einer genauen Definition bedürfen. Es ist unter anderem zu erklären, was die "korrekten Sätze einer Theorie" sind und was "beweisen"heißen soll.

Die obige Fragestellung geht auf die Neuorientierung der Mathematik um die Wende zum zwanzigsten Jahrhundert zurück. Erklärtes Ziel war es, die Mathematik auf einem soliden Fundament aufzubauen. Dieses Fundament sollten Axiomensysteme sein, die als allgemeingültige fundamentale Bausteine einer Theorie vorausgesetzt wurden und aus denen sich alle weiteren Sätze auf geeignete Weise ergeben sollten. Beispiele für derartige Axiomensysteme sind: Euklidische Geometrie, Peano-Arithmetik, Mengenlehre, Gruppentheorie.

Vorlesungsinhalt

Wir werden die Begriffe des (semantischen) Folgerns und des (syntaktischen) Schließens kennenlernen. Wir werden zeigen, daß beide Begriffe innerhalb der Aussagenlogik und der Prädikatenlogik erster Stufe zusammenfallen. Eine wichtige Voraussetzung wird es sein, den Begriff des Schließens geeignet zu definieren.

In einem weiteren Teil wird die Frage untersucht werden, welche Theorien sich durch (endliche) Axiomensysteme beschreiben lassen. Wir werden sehen, daß jede Theorie, die ein Mindestmaß an Ausdrucksfähigkeit besitzt, kein solches Axiomensystem besitzen kann.

Höhepunkte der Vorlesung:

  • Gödelscher Vollständigkeitssatz
  • Gödelscher Unvollständigkeitssatz

Voraussetzungen

Alle notwendigen Begriffe werden in der Vorlesung definiert. Es wird allerdings angenommen, daß ein Algorithmenbegriff bekannt ist.

Termine

Vorlesungdienstags, 12 Uhr c.t.HZ 202erstmals: 19. April
Übungmittwochs, 10 Uhr s.t.H 405erstmals: 27. April

Dozent

Daniel Meister