Das Projekt beschäftigt sich mit PDE- und datengetriebenen Rekonstruktionen in der Medizin. Dazu sollen aus medizinischen Daten und der Fluid-Struktur-Interaktion Blutgefäße und Gehirnstrukturen in 3D rekonstruiert werden.

Projekt- und assoziierte Partner: Axel Kröner, Johannes Haubner, Bastian Zapf, Lukas Baumgärtner, Simon Funke

In der zweiten Phase betrachten wir dagegen zunächst Funktionale, die zur Geometrie-Segmentierung, also der Einteilung einer Oberfläche nach bestimmten Merkmalen dienen. Über diese Funktionale kann dann bei geometrischen inversen Problemen beispielsweise auch eine Präferenz für bestimmte Ausrichtungen der Oberflächensegmente ausgedrückt werden. Dadurch gelingt es, Expertenwissen etwa im Bereich der Kristallographie, Geologie und Werkstoffkunde in das Problem einzubringen. Desweiteren betrachten wir Funktionale, die auf der verallgemeinerten Totalvariation zweiter Ordnung der Oberflächennormale basieren. Dadurch kann eine Präferenz für bestimmte Krümmungseigenschaften der Oberfläche ausgedrückt werden.

Projekt-Partner: Roland Herzog
Projekt-Mitarbeiter: Lukas Baumgärtner

Ziel des Projekts ist ein mathematisch rigoroser Ansatz zur nicht-glatten Formoptimierung. Typische Anwendungsfelder dafür sind geometrische inverse Probleme, die oft auf partiellen Differentialgleichungen basieren. Anwendungsfelder, die hiervon stark profitieren können, umfassen beispielsweise Aufgaben der Oberflächenglättung mit Kantenerhaltung und die Detektion von nicht-glatten Einschlüssen mittels nicht-invasiver Sensorik und Tomographie.

Zu diesem Zweck werden wir neue Geometriefunktionale einführen, die eine detaillierte Kontrolle über die nicht-glatten Eigenschaften der gewünschten Formen ermöglichen. Als Beispiel erwähnen wir die totale Oberflächenvariation des Normalenvektorfeldes. Dazu erweitern wir das Konzept der Totalvariations-Seminorm auf nicht-glatte Funktionen und geometrische Größen auf nicht-glatten Oberflächen. Dieser neuartige Zugang erlaubt auch die Kontrolle anisotroper Eigenschaften in den bevorzugten Formen.

Neben den theoretischen Betrachtungen werden wir uns auf konsistente numerische Realisierungen konzentrieren. Angesichts der Tatsache, dass jede triangulierte Oberfläche im Prinzip nicht-glatt ist, erwarten wir deutliche Verbesserungen auch in Bezug auf den derzeitigen Forschungsstand im Bereich der numerischen Formoptimierung. Beispielsweise werden wir der Frage der besten Krümmungsapproximation, die konsistent mit der tangentialen Stokes-Formel ist, nachgehen.

Um die Anwendbarkeit unseres neuen Ansatzes zu verdeutlichen, werden wir eine Reihe typischer Anwendungen steigender Komplexität behandeln: Oberflächenglättung, inverse Hindernisprobleme, Aufgaben in der elektrischen Impedanztomographie sowie inverse elektromagnetische Streuprobleme mit Maxwell-Gleichungen.

Projekt-Partner: Roland Herzog
Projekt-Mitarbeiter: Marc Herrmann