Mathematische Logik (Vorlesung)

Einführung

Die Logik bildet das formale Fundament der Mathematik und Informatik. Die Methoden der Logik werden insbesondere in der Informatik vielfältig angewendet.

Vereinfachend kann man es vielleicht so formulieren: Konkrete Sachverhalte werden in eine formalisierte und symbolische Sprache übertragen, in der dann die konkreten Sachverhalte untersucht werden können. Das Paar konkreter Sachverhalt und formale Sprache findet sich in den Begriffen Semantik und Syntax wieder, oder noch deutlicher: praktisches Problem und Rechnerprogramm. Der Vorteil des Formalen und Symbolischen ist, daß allgemeingültige Regeln angewendet werden können, die also immer gelten und nicht nur im konkreten Fall, und die eigentliche Bedeutung des konkreten Sachverhalts vernachlässigt werden kann. Der einfachste bekannte solche Formalismus ist die Aussagenlogik, die die Beziehungen zwischen verschiedenen Aussagen ausdrücken kann. Die wichtigste Erweiterung der Aussagenlogik ist die Prädikatenlogik, die auch die Struktur der einzelnen Aussagen betrachtet.

Aufgrund der vielfältigen Verwendungsmöglichkeiten und Anwendungsgebiete, insbesondere in der Informatik und verwandter Disziplinen, haben sich verschiedene weitere Logiken entwickelt.

Vorlesungsinhalt

Die Vorlesung gliedert sich in zwei Teile. Im ersten Teil werden wir uns mit der klassischen Logik beschäftigen, der Prädikatenlogik 1. Stufe. Es werden die grundlegenden Begriffe Folgern, Schließen, Modell, Theorie, Axiomensystem eingeführt und miteinander in Beziehung gesetzt. Wir werden die beiden fundamentalen Gödelschen Sätze kennenlernen und beweisen (Vollständigkeitssatz, der die Äquivalenz zwischen Folgern und Schließen zeigt, und Unvollständigkeitssatz, der über die Existenz endlicher Axiomensysteme Auskunft gibt).

Im zweiten Teil werden wir andere Logiken kennenlernen, die gerade im Umfeld der Informatik von großer Bedeutung sind. Folgende Logiken werden untersucht:

• Intuitionistische Logik
• Modallogik
• Temporallogik.

Teilnahmevoraussetzungen

Die Vorlesung setzt keine besonderen Vorkenntnisse im Bereich der Logik voraus, knüpft inhaltlich aber an die Einführungsveranstaltungen Elementare Logik oder Grundlagen der Theoretischen Informatik an.